复变函数

1 解析函数

极限 $\lim_{ \Delta z \to 0 } \frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z}$ 存在，则 $f(z)$ 在 $z_0$ 可导，即为 $f'(z_0)$.

1.1 概念

• 如果 $f(z)$ 在 $z_0$ 及 $z_0$ 的领域内处处可导，则称 $f(z)$ 在 $z_{0}$ 处解析；在区域 D 每一点解析则区域解析
• 如果 $f(z)$ 在 $z_0$ 不解析，$z_0$ 为奇点
• 函数在一点解析解析 $\Rightarrow$ 在这点可导，反之不成立

1.2 函数解析充要条件

• 函数 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 在 $z=x+yi$ 处可导的充要条件 $u(x,y)$ 与 $v(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 处可微且满足柯西-黎曼条件：

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$

简证：

$\begin{aligned} \begin{cases} du = A dx + B dy \\ dv = C dx + D dy \\ \end{cases} \\ df = du + idv = (A+Ci)dx +(B+Di)dy \\ \text{由}\frac{df}{dz}\text{形式易知} \frac{A+Ci}{-i(B+Di)} = 1\\ \therefore A = D , B=-C \end{aligned}$

\begin{aligned} \end{aligned}