傅里叶奇偶实虚性讨论

​ 之前就对这个知识点比较模糊，今天总结一下。

​ 设时域信号$x(t) = \alpha(t) + j\beta(t)$

​ 则傅里叶变换

$\begin{aligned} X(f) &= \int[\alpha(t) + j\beta(t)][cos(2\pi ft)-jsin(2\pi ft)] \mathrm{d}t\\ &=\underset{①式}{\underline{ \int [\alpha(t) cos (2\pi ft)+\beta(t)sin(2\pi ft)] \mathrm{d}t}} + \underset{②式}{j\underline{\int[\beta (t)cos(2\pi ft)-\alpha(t)sin(2\pi ft)]\mathrm{d}t}} \end{aligned}$

两个结论

(1) $x(-t) \longleftrightarrow X(-f)$
其实就是时域翻转对应频域翻转：

$X(f) =\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-2\pi ft} \mathrm{d}t$

$\begin{aligned} \mathcal{F}[x(-t)] &= \int_{-\infty}^{\infty}x(-t)e^{-2\pi ft} \mathrm{d}t\\ &= \int_{\infty}^{-\infty}x(-t)e^{-2\pi (-f)(-t)} \mathrm{d}(-t)\\ &= \int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)e^{-2\pi (-f)\tau} \mathrm{d}\tau\\ &= X(-f) \end{aligned}$

(2) $x ^{\star}(t) \longleftrightarrow X^{\star}(-f)$或者$x ^{\star}(-t) \longleftrightarrow X^{\star}(f)$

$X(f) = \int [\alpha(t) cos (2\pi ft)+\beta(t)sin(2\pi ft)] \mathrm{d}t+ j\int[\beta (t)cos(2\pi ft)-\alpha(t)sin(2\pi ft)]\mathrm{d}t$

$\begin{aligned} \mathcal{F}[x^{\star}(t)] &= \int_{-\infty}^{\infty}[\alpha(t) - j\beta(t)][cos(2\pi ft)-jsin(2\pi ft)] \mathrm{d}t\\ &= \int_{-\infty}^{\infty} [\alpha(t) cos (2\pi ft)-\beta(t)sin(2\pi ft)] \mathrm{d}t - j\int_{-\infty}^{\infty}[\alpha(t)sin(2\pi ft)+\beta (t)cos(2\pi ft) ]\mathrm{d}t\\ &= \int_{-\infty}^{\infty} \{\alpha(t) cos [2\pi (-f)t]+\beta(t)sin[2\pi (-f)t]\} \mathrm{d}t - j\int_{-\infty}^{\infty}\{\beta (t)cos[2\pi (-f)t] -\alpha(t)sin[2\pi (-f)t]\}\mathrm{d}t\\ &= X^{\star}(-f) \end{aligned}$

​ 接下来讨奇偶实虚：

1.时域信号为复数信号

(1) $\alpha(t)$奇，$\beta(t)$偶

​ ①式关于t的奇函数为0，只剩②式。

​ 有：（时域）实偶虚奇 $\longrightarrow$（频域）虚信号

(2) $\alpha(t)$偶，$\beta(t)$奇

​ ②式关于t的奇函数为0，只剩①式。

​ 有：（时域）实奇虚偶 $\longrightarrow$（频域）实信号

2.时域信号为实数信号

​ 此时$\beta(t) = 0$，则$X(f) = \underset{①式}{\underline{ \int [\alpha(t) cos (2\pi ft)] \mathrm{d}t}}- \underset{②式}{j\underline{\int[\alpha(t)sin(2\pi ft)]\mathrm{d}t}}$

(1) $\alpha(t)$奇

​ ①式关于t的奇函数为0，只剩②式且②式是$f$的奇函数。

​ 有：（时域）实奇 $\longrightarrow$（频域）虚奇

(2) $\alpha(t)$偶

​ ②式关于t的奇函数为0，只剩①式且①式是$f$的偶函数。

​ 有：（时域）实偶 $\longrightarrow$（频域）实偶

3.时域信号为虚信号

​ 此时$\beta(t) = 0$，则$X(f) = \underset{①式}{\underline{ \int [\beta(t) sin (2\pi ft)] \mathrm{d}t}}+ \underset{②式}{j\underline{\int[\beta(t)cos(2\pi ft)]\mathrm{d}t}}$

(1) $\beta(t)$奇

​ ②式关于t的奇函数为0，只剩①式且①式是$f$的奇函数。

​ 有：（时域）虚奇 $\longrightarrow$（频域）实奇

(2) $\beta(t)$偶

​ ①式关于t的奇函数为0，只剩②式且②式是$f$的偶函数。

​ 有：（时域）虚偶 $\longrightarrow$（频域）虚偶